Τζων_Φορμπς_Νας

 

Fractal 4 ημ.  ·

Σαν σήμερα το 1928 γεννήθηκε η μαθηματική διάνοια #Τζων_Φορμπς_Νας, Αμερικανός μαθηματικός και οικονομολόγος.

Στα 19 του απέδειξε το θεώρημα του Brauer, μια απόδειξη που όλοι οι μαθηματικές ιδιοφυϊες της εποχής θεωρούσαν αδύνατη. Στα 21 του συμπλήρωσε την «Θεωρία των παιγνίων» του John Von Neumann, μία εργασία για την οποία τιμήθηκε με βραβείο Nobel το 1994. Στα 22 του ήταν καθηγητής στο Princeton και 23 χρονών δίδασκε στο MIT. Kάθε μαθηματική εργασία του άφηνε τους μαθηματικούς όλου του κόσμου με ανοιχτό το στόμα: «Όποτε παρουσίαζε κάποια εργασία», θυμάται ο καθηγητής του MIT Gian-Carlo Rota, «πάντα κάποιος από το ακροατήριο θα έλεγε “απίστευτο!”…».

Συγκεκριμένα, δημιούργησε την έννοια της ισορροπίας για παιχνίδια μη-μηδενικού αθροίσματος, ισορροπία που πήρε το όνομά του ως ισορροπία Νας.Η έννοια της ισορροπίας κατά Νας είναι πολύ σπουδαία, ιδιαιτέρως στις μέρες μας, και έχει ευρύτατες εφαρμογές σε πολλούς τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας, όπως στις οικονομικές επιστήμες, στην Πληροφορική, την Τεχνητή Νοημοσύνη, την πολιτική αλλά και σε φυσικά συστήματα, όπως η Βιολογία.

Ο Νας υπέφερε από σχιζοφρένεια από τα 29 του, την οποία ξεπέρασε μετά από τριάντα χρόνια.

Tο δράμα του ξεκίνησε το 1959, ενώ ήδη είχε παντρευτεί και η γυναίκα του περίμενε το πρώτο παιδί. Oι διαλέξεις του άρχισαν να γίνονται παραληρηματικές χωρίς κανένα νόημα. Oι εργασίες του σταμάτησαν. Mπαίνει στην ψυχιατρική κλινική του Harvard σε ηλικία 30 χρονών. Oι γιατροί σηκώνουν τα χέρια: διαγιγνώσκουν σχιζοφρένεια, μία ασθένεια που κανείς δεν ξέρει από που προέρχεται και δεν έχει θεραπεία. Παραιτείται από το MIT και ξοδεύει τον χρόνο του μεταξύ ψυχιατρικών κλινικών και του Princeton. Eκεί τριγυρίζει σαν φάντασμα.

O ίδιος περιέγραψε την ασθένειά του σε μια μελέτη που έκανε για την δέκατη παγκόσμια σύνοδο Ψυχιατρικής το 1996:

«… άρχισα να αισθάνομαι πως το προσωπικό του MIT, και αργότερα ολόκληρη η Βοστόνη συμπεριφερόταν περίεργα απέναντί μου… Αρχισα να βλέπω κρυπτοκομμουνιστές παντού… Αρχισα να πιστεύω πως είμαι σημαντική θρησκευτική προσωπικότητα και άκουγα φωνές συνεχώς. Αρχισα να ακούω κάτι σαν τηλεφωνήματα, από ανθρώπους που αντιτίθεντο στις ιδέες μου… Tο delirium ήταν σαν ένα όνειρο από το οποίο έμοιαζε πως δεν θα ξυπνήσω ποτέ…»

Το 1970, όταν ο Νας πήρε για τελευταία και οριστική φορά εξιτήριο. Με τη γυναίκα του χώρισαν το 1963 (αν και συζούσαν) και ξαναπαντρεύτηκαν το 2001 ενώ είχαν αποκτήσει ένα γιο το 1959

O Τζον Νας και η σύζυγός του Αλίσια σκοτώθηκαν σε αυτοκινητιστικό δυστύχημα στις 23 Μαΐου του 2015, όταν το ταξί στο οποίο επέβαιναν προσέκρουσε σε προστατευτικό κιγκλίδωμα.

Η συγκινητική ιστορία της ζωής του έγινε γνωστή στο ευρύ κοινό μέσα από την επιτυχημένη ταινία «Ενας υπέροχος άνθρωπος» με πρωταγωνιστή τον Ράσελ Κρόου.

--------------------------

Επιμ: Δ.Ντζαδήμα // www.fractalart.gr   Λιγότερα 

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ.

1.Ένα σύνολο $X\subseteq {\mathbb{R}}^n$ λέγεται κυρτό όταν:

Για κάθε δύο σημεία $x,y\in X$ όλο το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει βρίσκεται επίσης μέσα στο $X$.

Αυτό γράφεται αυστηρά:

$$$$X ειˊναι κυρτοˊ   ⟺  ∀x,y∈X, ∀t∈[0,1]: tx+(1−t)y∈X.

Αυτός είναι ο τυπικός, καθαρός, τοπολογικο-γεωμετρικός ορισμός.

2. Τι σημαίνει ότι ένα σύνολο $X$ είναι συμπαγές

Στα ${\mathbb{R}}^n$, ένα σύνολο είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι:

• κλειστό

• φραγμένο

Αυτό είναι το περίφημο Θεώρημα του Heine–Borel.

⭐ Πώς εκφράζεται μαθηματικά

1. Φραγμένο σύνολο

Ένα σύνολο $X\subseteq {\mathbb{R}}^n$ είναι φραγμένο όταν:

$$$$∃M>0 τεˊτοιο ωˊστε ∥x∥≤M∀x∈X.

Δηλαδή: όλα τα σημεία του $X$ χωράνε μέσα σε μια μπάλα ακτίνας $M$.

2. Κλειστό σύνολο

Ένα σύνολο $X$ είναι κλειστό όταν:

$$$$αν (xk)⊆X και xk→x, τοˊτε x∈X.

Δηλαδή: περιέχει όλα τα οριακά του σημεία.

Ισοδύναμα: το συμπλήρωμά του είναι ανοικτό.

3. Συμπαγές σύνολο

Στα ${\mathbb{R}}^n$, ο ορισμός γράφεται:

$$$$X ειˊναι συμπαγεˊς   ⟺  X ειˊναι κλειστοˊ και φραγμεˊνο.

Αυτό είναι η πλήρης μαθηματική έκφραση.

⭐ Γιατί το θέλει το θεώρημα Brouwer

Η συμπαγότητα εξασφαλίζει:

• ότι η συνεχής συνάρτηση $f$ πιάνει μέγιστο και ελάχιστο

• ότι δεν “φεύγουν” σημεία στο άπειρο

• ότι το σύνολο είναι “ολοκληρωμένο” τοπολογικά

Χωρίς συμπαγότητα, το θεώρημα αποτυγχάνει.

3.Ο Nash δεν απέδειξε το θεώρημα Brouwer. Ο Nash το χρησιμοποίησε για να αποδείξει την ύπαρξη ισορροπίας στα παιχνίδια.

Αυτό που έκανε ο Nash ήταν:

Να κατασκευάσει μια συνεχή απεικόνιση από τον χώρο των μικτών στρατηγικών στον εαυτό του, και να εφαρμόσει το θεώρημα Brouwer για να δείξει ότι υπάρχει σταθερό σημείο — δηλαδή ισορροπία Nash.

⭐ 2. Η αυθεντική απόδειξη του Nash (1950) — αυστηρή μορφή

Ακολουθεί η πλήρης λογική δομή της απόδειξης, όπως εμφανίζεται στο PNAS (χωρίς να παραβιάζουμε πνευματικά δικαιώματα: δεν παραθέτω το κείμενο, αλλά δίνω την ακριβή μαθηματική δομή).

Βήμα 1 — Ο χώρος στρατηγικών είναι συμπαγής και κυρτός

Για κάθε παίκτη $i$, ορίζει το simplex:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">S</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\{</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\in </span></span>{\mathbb{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">R</span></span>}}^{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">k</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">:</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">j</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\ge </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\text{<span style="font-size: small;"><span style="color: \#cc0000;"> </span></span>}\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">j</span></span>}}{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\sum </span></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">j</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">1</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\}</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Ο συνολικός χώρος στρατηγικών:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">S</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">S</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">1</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\times </span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\cdots </span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\times </span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">S</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">n</span></span>}}$$

είναι συμπαγής και κυρτός στο ${\mathbb{R}}^m$.

Αυτό είναι κρίσιμο για να εφαρμοστεί το Brouwer.

Βήμα 2 — Ο Nash ορίζει μια συνεχή απεικόνιση $f:S\to S$

Για κάθε παίκτη $i$, και κάθε καθαρή στρατηγική $s$, ορίζει:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">p</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">-</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Αυτό είναι το “πλεονέκτημα” του να μετακινηθεί ο παίκτης από τη μικτή στρατηγική του σε μια καθαρή στρατηγική.

Με βάση αυτό, ορίζει τη νέα μικτή στρατηγική:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">f</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span>}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">+</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">max</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;"></span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">p</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">1</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">+</span></span>\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">t</span></span>}}{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\sum </span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">max</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;"></span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">p</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">t</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Αυτή είναι η ακριβής απεικόνιση του Nash.

Ιδιότητες:

• είναι συνεχής

• απεικονίζει το $S$ στον εαυτό του

• αυξάνει το βάρος των στρατηγικών που αποδίδουν καλύτερα

Βήμα 3 — Εφαρμογή του Θεωρήματος Brouwer

Αφού:

• $S$ είναι συμπαγές και κυρτό

• $f$ είναι συνεχής

• $$f:S→S

τότε από Brouwer:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\exists </span></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\in </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">S</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">:</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">f</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Βήμα 4 — Το σταθερό σημείο είναι ισορροπία Nash

Αν $f(x^{\text{*}})=x^{\text{*}}$, τότε:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">max</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;"></span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">p</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\forall </span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Δηλαδή:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">-</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\le </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0.</span></span>}$$

Άρα:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\ge </span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\forall </span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Κανένας παίκτης δεν μπορεί να βελτιώσει την απόδοσή του → ισορροπία Nash.

Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

⭐ 3. Τι διαφέρει από το paper του 1951

Το 1951 paper (Annals of Mathematics):

• είναι πολύ πιο εκτενές

• χρησιμοποιεί Kakutani fixed point theorem (όχι Brouwer)

• χειρίζεται αντιστοιχίσεις (correspondences) αντί για συναρτήσεις

• δίνει γενίκευση για παιχνίδια με πολλαπλές βέλτιστες απαντήσεις

Το 1950 paper είναι η “καθαρή” εκδοχή με Brouwer.