Με στίχους από τραγούδι Λουκιανού Κηλαηδόνη η ομιλία του Κώστα Καραμανλή στο Αριστοτέλειο Κολλέγιο

 

ΚΩΣΤΑΣ ΚΑΡΑΜΑΝΛΗΣ. ΕΦ.ΕΣΤΙΑ 18/6/2026

ΚΩΣΤΑΣ ΚΑΡΑΜΑΝΛΗΣ. ΕΦ.ΕΣΤΙΑ 18/6/2026 

frontpages.gr

Πρωτοσέλιδο - Εφημερίδα Εστία 18/6/2026

Πρωτοσέλιδο - Εφημερίδα Εστία 18/6/2026. Στο frontpages.gr βρίσκεις συγκεντρωμένα όλα τα σημερινά πρωτοσέλιδα εφημερίδων – πολιτικές, αθλητικές, οικονομικές και τοπικές. Δες...

ΗΠΑ-ΙΡΑΝ. Ο Donald Trump υπερασπίστηκε τη συμφωνία του στη Σύνοδο της G7

 Niκος Σιμος

 

·

Ακολουθήστε

5 ώρ. 

·

" Ο Donald Trump υπερασπίστηκε τη συμφωνία του στη Σύνοδο της G7 στη Γαλλία και δήλωσε ότι θα ήταν πρόθυμος να τη διαβάσει δημόσια

Ο Αντιπρόεδρος JD Vance, που έχει αναλάβει να υπερασπιστεί τη συμφωνία στο εσωτερικό των ΗΠΑ, απέδωσε την καθυστέρηση σε διπλωματικές διαδικασίες στον μουσουλμανικό και αραβικό κόσμο.

Τόνισε επίσης ότι οποιοδήποτε οικονομικό όφελος για το Ιράν θα εξαρτηθεί από την τήρηση της δέσμευσης που περιλαμβάνεται στο κείμενο να μην επιδιώξει ποτέ την απόκτηση πυρηνικού όπλου.

Οι δηλώσεις του JD Vance άφησαν να εννοηθεί ότι μια κυβέρνηση που βασίζεται στη λογική της «τέχνης της συμφωνίας» οραματίζεται μια ελκυστική μεγάλη συμφωνία για το Ιράν, η οποία θα μπορούσε να τερματίσει το καθεστώς διεθνούς απομόνωσης του "

Είναι προφανές το στρατηγικό στραπάτσο των ΗΠΑ και η πολιτική ήττα των νεοσυντηρητικών της Ουάσιγκτον στην υπόθεση του Ιράν

Το υπερήφανο Ιράν ουσιαστικά είναι ο στρατηγικός νικητής με ενωμένο τον λαό του κάτω από τις πάγιες Αξίες της κυριαρχίας και της ανεξαρτησίας του !

Αξίες που τείνουν να ξεχαστούν από την κοινωνία στον πλανήτη στην δίνη ενός ανήθικου και αδυσώπητου παγκόσμιου καπιταλιστικού ανταγωνισμού για το επίδικο της ηγεμονίας, σε ένα αντικοινωνικό μέλλον

Το Ιράν και ο λαός του στέλνει το πανανθρώπινο και ιστορικό μήνυμα σε όλη την οικουμένη :

ΘΕΛΕΙ ΠΙΣΤΗ, ΑΓΩΝΑ , ΑΡΧΕΣ , ΑΞΙΕΣ ΚΑΙ ΘΥΣΙΕΣ Η ΕΛΕΥΘΕΡΊΑ, Η ΕΘΝΙΚΗ ΚΥΡΙΑΡΧΙΑ ΚΑΙ Η ΕΘΝΙΚΗ ΑΞΙΟΠΡΕΠΕΙΑ

Ένα μήνυμα που είναι αμφίβολο αν θα μετουσιωθεί σε πεποίθηση στον καταναλωτικό άνθρωπο του άλλοτε Δυτικού κόσμου που βιώνει μια πρωτοφανούς έκτασης και πολλαπλών διαστάσεων παρακμή

Είναι πρόωρο να εκτιμηθεί το μέλλον στο γεωπολιτικό και γεωοικονομικό πεδίο όσο αφορά τον Περσικό κόλπο μετά την υπογραφή της Αμερικανοιρανικής συμφωνίας

Φαίνεται πολύ καλή για το Ιράν για να είναι πραγματικά υλοποιήσημη, χωρίς όμως και να αποκλείεται, αν πάρει κανείς υπ' όψιν τον διαρκώς αναθεωρούμενο παγκόσμιο διεθνή καπιταλιστικό χάρτη

Από την άλλη με την υπογραφή της ειρηνευτικής συμφωνίας η ρεπουμπλικανική φράξια, υπό τον αντιπρόεδρο Βανς, φαίνεται ότι επικράτησε έναντι της αντίστοιχης του υπουργού εξωτερικών Ρούμπιο και αυτό δίνει περιθώρια πολιτικών ελιγμών στην πολιτική ομάδα και στις ομόροπες αμερικανικές δεξαμενές σκέψης που θα ήθελαν ένα άλλο τρόπο διατήρησης της παρουσίας των ΗΠΑ στην περιοχή από αυτήν που με την πίεση των Σιωνιστών επιλέχτηκε και απέτυχε παταγωδώς

Αν υλοποιηθεί αυτή η συμφωνία - πράγμα εξαιρετικά δύσκολο αν λάβει κανείς υπ' όψιν του τις πιέσεις του σκληρού πυρήνα των Δυτικότροπων παγκοσμιοποιητών - το Ιράν, απελευθερωμένο από τις αλυσίδες ενός σχεδόν πεντηκονταετούς αποκλεισμού από τις αγορές θα αλλάξει.

Το απελευθερωμένο Ιράν με έντονες τις τάσεις της Εθνικής ανεξαρτησίας θα διαμορφώσει μια διαφορετική πορεία μέσα στον διαρκώς μεταβαλλόμενο καπιταλιστικό κόσμο, αλλάζοντας τις γεωπολιτικές και γεωοικονομικές προϋποθέσεις στην Μέση Ανατολή αλλά και στον υπόλοιπο αναθεωρούμενο κόσμο

Νίκος Σίμος

Λιγότερα

Κ .Π. Καβάφης. Το διπλανό τραπέζι - 1918

 

Τζων_Φορμπς_Νας

 

Fractal 4 ημ.  ·

Σαν σήμερα το 1928 γεννήθηκε η μαθηματική διάνοια #Τζων_Φορμπς_Νας, Αμερικανός μαθηματικός και οικονομολόγος.

Στα 19 του απέδειξε το θεώρημα του Brauer, μια απόδειξη που όλοι οι μαθηματικές ιδιοφυϊες της εποχής θεωρούσαν αδύνατη. Στα 21 του συμπλήρωσε την «Θεωρία των παιγνίων» του John Von Neumann, μία εργασία για την οποία τιμήθηκε με βραβείο Nobel το 1994. Στα 22 του ήταν καθηγητής στο Princeton και 23 χρονών δίδασκε στο MIT. Kάθε μαθηματική εργασία του άφηνε τους μαθηματικούς όλου του κόσμου με ανοιχτό το στόμα: «Όποτε παρουσίαζε κάποια εργασία», θυμάται ο καθηγητής του MIT Gian-Carlo Rota, «πάντα κάποιος από το ακροατήριο θα έλεγε “απίστευτο!”…».

Συγκεκριμένα, δημιούργησε την έννοια της ισορροπίας για παιχνίδια μη-μηδενικού αθροίσματος, ισορροπία που πήρε το όνομά του ως ισορροπία Νας.Η έννοια της ισορροπίας κατά Νας είναι πολύ σπουδαία, ιδιαιτέρως στις μέρες μας, και έχει ευρύτατες εφαρμογές σε πολλούς τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας, όπως στις οικονομικές επιστήμες, στην Πληροφορική, την Τεχνητή Νοημοσύνη, την πολιτική αλλά και σε φυσικά συστήματα, όπως η Βιολογία.

Ο Νας υπέφερε από σχιζοφρένεια από τα 29 του, την οποία ξεπέρασε μετά από τριάντα χρόνια.

Tο δράμα του ξεκίνησε το 1959, ενώ ήδη είχε παντρευτεί και η γυναίκα του περίμενε το πρώτο παιδί. Oι διαλέξεις του άρχισαν να γίνονται παραληρηματικές χωρίς κανένα νόημα. Oι εργασίες του σταμάτησαν. Mπαίνει στην ψυχιατρική κλινική του Harvard σε ηλικία 30 χρονών. Oι γιατροί σηκώνουν τα χέρια: διαγιγνώσκουν σχιζοφρένεια, μία ασθένεια που κανείς δεν ξέρει από που προέρχεται και δεν έχει θεραπεία. Παραιτείται από το MIT και ξοδεύει τον χρόνο του μεταξύ ψυχιατρικών κλινικών και του Princeton. Eκεί τριγυρίζει σαν φάντασμα.

O ίδιος περιέγραψε την ασθένειά του σε μια μελέτη που έκανε για την δέκατη παγκόσμια σύνοδο Ψυχιατρικής το 1996:

«… άρχισα να αισθάνομαι πως το προσωπικό του MIT, και αργότερα ολόκληρη η Βοστόνη συμπεριφερόταν περίεργα απέναντί μου… Αρχισα να βλέπω κρυπτοκομμουνιστές παντού… Αρχισα να πιστεύω πως είμαι σημαντική θρησκευτική προσωπικότητα και άκουγα φωνές συνεχώς. Αρχισα να ακούω κάτι σαν τηλεφωνήματα, από ανθρώπους που αντιτίθεντο στις ιδέες μου… Tο delirium ήταν σαν ένα όνειρο από το οποίο έμοιαζε πως δεν θα ξυπνήσω ποτέ…»

Το 1970, όταν ο Νας πήρε για τελευταία και οριστική φορά εξιτήριο. Με τη γυναίκα του χώρισαν το 1963 (αν και συζούσαν) και ξαναπαντρεύτηκαν το 2001 ενώ είχαν αποκτήσει ένα γιο το 1959

O Τζον Νας και η σύζυγός του Αλίσια σκοτώθηκαν σε αυτοκινητιστικό δυστύχημα στις 23 Μαΐου του 2015, όταν το ταξί στο οποίο επέβαιναν προσέκρουσε σε προστατευτικό κιγκλίδωμα.

Η συγκινητική ιστορία της ζωής του έγινε γνωστή στο ευρύ κοινό μέσα από την επιτυχημένη ταινία «Ενας υπέροχος άνθρωπος» με πρωταγωνιστή τον Ράσελ Κρόου.

--------------------------

Επιμ: Δ.Ντζαδήμα // www.fractalart.gr   Λιγότερα 

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ.

1.Ένα σύνολο $X\subseteq {\mathbb{R}}^n$ λέγεται κυρτό όταν:

Για κάθε δύο σημεία $x,y\in X$ όλο το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει βρίσκεται επίσης μέσα στο $X$.

Αυτό γράφεται αυστηρά:

$$$$X ειˊναι κυρτοˊ   ⟺  ∀x,y∈X, ∀t∈[0,1]: tx+(1−t)y∈X.

Αυτός είναι ο τυπικός, καθαρός, τοπολογικο-γεωμετρικός ορισμός.

2. Τι σημαίνει ότι ένα σύνολο $X$ είναι συμπαγές

Στα ${\mathbb{R}}^n$, ένα σύνολο είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι:

• κλειστό

• φραγμένο

Αυτό είναι το περίφημο Θεώρημα του Heine–Borel.

⭐ Πώς εκφράζεται μαθηματικά

1. Φραγμένο σύνολο

Ένα σύνολο $X\subseteq {\mathbb{R}}^n$ είναι φραγμένο όταν:

$$$$∃M>0 τεˊτοιο ωˊστε ∥x∥≤M∀x∈X.

Δηλαδή: όλα τα σημεία του $X$ χωράνε μέσα σε μια μπάλα ακτίνας $M$.

2. Κλειστό σύνολο

Ένα σύνολο $X$ είναι κλειστό όταν:

$$$$αν (xk)⊆X και xk→x, τοˊτε x∈X.

Δηλαδή: περιέχει όλα τα οριακά του σημεία.

Ισοδύναμα: το συμπλήρωμά του είναι ανοικτό.

3. Συμπαγές σύνολο

Στα ${\mathbb{R}}^n$, ο ορισμός γράφεται:

$$$$X ειˊναι συμπαγεˊς   ⟺  X ειˊναι κλειστοˊ και φραγμεˊνο.

Αυτό είναι η πλήρης μαθηματική έκφραση.

⭐ Γιατί το θέλει το θεώρημα Brouwer

Η συμπαγότητα εξασφαλίζει:

• ότι η συνεχής συνάρτηση $f$ πιάνει μέγιστο και ελάχιστο

• ότι δεν “φεύγουν” σημεία στο άπειρο

• ότι το σύνολο είναι “ολοκληρωμένο” τοπολογικά

Χωρίς συμπαγότητα, το θεώρημα αποτυγχάνει.

3.Ο Nash δεν απέδειξε το θεώρημα Brouwer. Ο Nash το χρησιμοποίησε για να αποδείξει την ύπαρξη ισορροπίας στα παιχνίδια.

Αυτό που έκανε ο Nash ήταν:

Να κατασκευάσει μια συνεχή απεικόνιση από τον χώρο των μικτών στρατηγικών στον εαυτό του, και να εφαρμόσει το θεώρημα Brouwer για να δείξει ότι υπάρχει σταθερό σημείο — δηλαδή ισορροπία Nash.

⭐ 2. Η αυθεντική απόδειξη του Nash (1950) — αυστηρή μορφή

Ακολουθεί η πλήρης λογική δομή της απόδειξης, όπως εμφανίζεται στο PNAS (χωρίς να παραβιάζουμε πνευματικά δικαιώματα: δεν παραθέτω το κείμενο, αλλά δίνω την ακριβή μαθηματική δομή).

Βήμα 1 — Ο χώρος στρατηγικών είναι συμπαγής και κυρτός

Για κάθε παίκτη $i$, ορίζει το simplex:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">S</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\{</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\in </span></span>{\mathbb{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">R</span></span>}}^{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">k</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">:</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">j</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\ge </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\text{<span style="font-size: small;"><span style="color: \#cc0000;"> </span></span>}\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">j</span></span>}}{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\sum </span></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">j</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">1</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\}</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Ο συνολικός χώρος στρατηγικών:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">S</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">S</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">1</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\times </span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\cdots </span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\times </span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">S</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">n</span></span>}}$$

είναι συμπαγής και κυρτός στο ${\mathbb{R}}^m$.

Αυτό είναι κρίσιμο για να εφαρμοστεί το Brouwer.

Βήμα 2 — Ο Nash ορίζει μια συνεχή απεικόνιση $f:S\to S$

Για κάθε παίκτη $i$, και κάθε καθαρή στρατηγική $s$, ορίζει:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">p</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">-</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Αυτό είναι το “πλεονέκτημα” του να μετακινηθεί ο παίκτης από τη μικτή στρατηγική του σε μια καθαρή στρατηγική.

Με βάση αυτό, ορίζει τη νέα μικτή στρατηγική:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">f</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span>}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">+</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">max</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;"></span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">p</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">1</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">+</span></span>\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">t</span></span>}}{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\sum </span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">max</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;"></span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">p</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">t</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Αυτή είναι η ακριβής απεικόνιση του Nash.

Ιδιότητες:

• είναι συνεχής

• απεικονίζει το $S$ στον εαυτό του

• αυξάνει το βάρος των στρατηγικών που αποδίδουν καλύτερα

Βήμα 3 — Εφαρμογή του Θεωρήματος Brouwer

Αφού:

• $S$ είναι συμπαγές και κυρτό

• $f$ είναι συνεχής

• $$f:S→S

τότε από Brouwer:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\exists </span></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\in </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">S</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">:</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">f</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Βήμα 4 — Το σταθερό σημείο είναι ισορροπία Nash

Αν $f(x^{\text{*}})=x^{\text{*}}$, τότε:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">max</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;"></span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">p</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\forall </span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Δηλαδή:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">-</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\le </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0.</span></span>}$$

Άρα:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\ge </span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\forall </span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Κανένας παίκτης δεν μπορεί να βελτιώσει την απόδοσή του → ισορροπία Nash.

Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

⭐ 3. Τι διαφέρει από το paper του 1951

Το 1951 paper (Annals of Mathematics):

• είναι πολύ πιο εκτενές

• χρησιμοποιεί Kakutani fixed point theorem (όχι Brouwer)

• χειρίζεται αντιστοιχίσεις (correspondences) αντί για συναρτήσεις

• δίνει γενίκευση για παιχνίδια με πολλαπλές βέλτιστες απαντήσεις

Το 1950 paper είναι η “καθαρή” εκδοχή με Brouwer.

Hypercube Dimensional Matrix

 Sciences KL 

 ·

Ακολουθήστε

11 ώρ. ·

Hypercube Dimensional Matrix

Every physical quantity measured in science, such as speed, force, energy, pressure, momentum, frequency, and more, is just a specific combination of four basic building blocks: length, time, mass, and angle. Velocity is length divided by time. Area is length multiplied by length. Force is mass multiplied by length divided by time squared. Every quantity, no matter how complex, reduces to some mix of these four elements raised to certain powers. This diagram maps all those combinations onto the geometry of a four-dimensional cube called a tesseract. It turns the abstract bookkeeping of physics into a navigable geometric landscape. A tesseract is what you get when you extend a cube into a fourth dimension. Just as moving a square in a new direction creates a cube, moving a cube in a fourth direction creates a tesseract with sixteen corners and thirty-two edges. Since we cannot perceive four dimensions directly, the diagram shows a projection. The outer blue cube and the inner green cube, connected by purple diagonal lines, represent a single four-dimensional object flattened onto the page. This is similar to how a drawing of a cube shows a three-dimensional object on paper. The four axes of this tesseract are labeled with the four fundamental dimensions: length in blue, time in red, mass in green, and angle in purple. Each ranges from negative powers through zero to positive powers. The most elegant idea in the diagram is that each corner of the tesseract stands for a specific physical quantity, while each edge represents a physical operation connecting them. Moving one step along the length axis means multiplying or dividing by length. Moving one step along the time axis means multiplying or dividing by time. Differentiating with respect to time moves you in the negative time direction. Integrating over space moves you in the positive length direction. Physics becomes navigation. Every calculation, transformation between quantities, and physical relationship appears as a journey along edges and across faces of the four-dimensional structure. What looks like a complex tangle of colored lines is really a complete geometric map of the entire landscape of measurable physical reality. This reveals that the universe's countless quantities are not just a chaotic collection of unrelated measurements but a single beautifully structured four-dimensional space.

#physics #maths

Λιγότερα

Δείτε τη μετάφραση