Κ .Π. Καβάφης. Το διπλανό τραπέζι - 1918

 

Τζων_Φορμπς_Νας

 

Fractal 4 ημ.  ·

Σαν σήμερα το 1928 γεννήθηκε η μαθηματική διάνοια #Τζων_Φορμπς_Νας, Αμερικανός μαθηματικός και οικονομολόγος.

Στα 19 του απέδειξε το θεώρημα του Brauer, μια απόδειξη που όλοι οι μαθηματικές ιδιοφυϊες της εποχής θεωρούσαν αδύνατη. Στα 21 του συμπλήρωσε την «Θεωρία των παιγνίων» του John Von Neumann, μία εργασία για την οποία τιμήθηκε με βραβείο Nobel το 1994. Στα 22 του ήταν καθηγητής στο Princeton και 23 χρονών δίδασκε στο MIT. Kάθε μαθηματική εργασία του άφηνε τους μαθηματικούς όλου του κόσμου με ανοιχτό το στόμα: «Όποτε παρουσίαζε κάποια εργασία», θυμάται ο καθηγητής του MIT Gian-Carlo Rota, «πάντα κάποιος από το ακροατήριο θα έλεγε “απίστευτο!”…».

Συγκεκριμένα, δημιούργησε την έννοια της ισορροπίας για παιχνίδια μη-μηδενικού αθροίσματος, ισορροπία που πήρε το όνομά του ως ισορροπία Νας.Η έννοια της ισορροπίας κατά Νας είναι πολύ σπουδαία, ιδιαιτέρως στις μέρες μας, και έχει ευρύτατες εφαρμογές σε πολλούς τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας, όπως στις οικονομικές επιστήμες, στην Πληροφορική, την Τεχνητή Νοημοσύνη, την πολιτική αλλά και σε φυσικά συστήματα, όπως η Βιολογία.

Ο Νας υπέφερε από σχιζοφρένεια από τα 29 του, την οποία ξεπέρασε μετά από τριάντα χρόνια.

Tο δράμα του ξεκίνησε το 1959, ενώ ήδη είχε παντρευτεί και η γυναίκα του περίμενε το πρώτο παιδί. Oι διαλέξεις του άρχισαν να γίνονται παραληρηματικές χωρίς κανένα νόημα. Oι εργασίες του σταμάτησαν. Mπαίνει στην ψυχιατρική κλινική του Harvard σε ηλικία 30 χρονών. Oι γιατροί σηκώνουν τα χέρια: διαγιγνώσκουν σχιζοφρένεια, μία ασθένεια που κανείς δεν ξέρει από που προέρχεται και δεν έχει θεραπεία. Παραιτείται από το MIT και ξοδεύει τον χρόνο του μεταξύ ψυχιατρικών κλινικών και του Princeton. Eκεί τριγυρίζει σαν φάντασμα.

O ίδιος περιέγραψε την ασθένειά του σε μια μελέτη που έκανε για την δέκατη παγκόσμια σύνοδο Ψυχιατρικής το 1996:

«… άρχισα να αισθάνομαι πως το προσωπικό του MIT, και αργότερα ολόκληρη η Βοστόνη συμπεριφερόταν περίεργα απέναντί μου… Αρχισα να βλέπω κρυπτοκομμουνιστές παντού… Αρχισα να πιστεύω πως είμαι σημαντική θρησκευτική προσωπικότητα και άκουγα φωνές συνεχώς. Αρχισα να ακούω κάτι σαν τηλεφωνήματα, από ανθρώπους που αντιτίθεντο στις ιδέες μου… Tο delirium ήταν σαν ένα όνειρο από το οποίο έμοιαζε πως δεν θα ξυπνήσω ποτέ…»

Το 1970, όταν ο Νας πήρε για τελευταία και οριστική φορά εξιτήριο. Με τη γυναίκα του χώρισαν το 1963 (αν και συζούσαν) και ξαναπαντρεύτηκαν το 2001 ενώ είχαν αποκτήσει ένα γιο το 1959

O Τζον Νας και η σύζυγός του Αλίσια σκοτώθηκαν σε αυτοκινητιστικό δυστύχημα στις 23 Μαΐου του 2015, όταν το ταξί στο οποίο επέβαιναν προσέκρουσε σε προστατευτικό κιγκλίδωμα.

Η συγκινητική ιστορία της ζωής του έγινε γνωστή στο ευρύ κοινό μέσα από την επιτυχημένη ταινία «Ενας υπέροχος άνθρωπος» με πρωταγωνιστή τον Ράσελ Κρόου.

--------------------------

Επιμ: Δ.Ντζαδήμα // www.fractalart.gr   Λιγότερα 

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ.

1.Ένα σύνολο $X\subseteq {\mathbb{R}}^n$ λέγεται κυρτό όταν:

Για κάθε δύο σημεία $x,y\in X$ όλο το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει βρίσκεται επίσης μέσα στο $X$.

Αυτό γράφεται αυστηρά:

$$$$X ειˊναι κυρτοˊ   ⟺  ∀x,y∈X, ∀t∈[0,1]: tx+(1−t)y∈X.

Αυτός είναι ο τυπικός, καθαρός, τοπολογικο-γεωμετρικός ορισμός.

2. Τι σημαίνει ότι ένα σύνολο $X$ είναι συμπαγές

Στα ${\mathbb{R}}^n$, ένα σύνολο είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι:

• κλειστό

• φραγμένο

Αυτό είναι το περίφημο Θεώρημα του Heine–Borel.

⭐ Πώς εκφράζεται μαθηματικά

1. Φραγμένο σύνολο

Ένα σύνολο $X\subseteq {\mathbb{R}}^n$ είναι φραγμένο όταν:

$$$$∃M>0 τεˊτοιο ωˊστε ∥x∥≤M∀x∈X.

Δηλαδή: όλα τα σημεία του $X$ χωράνε μέσα σε μια μπάλα ακτίνας $M$.

2. Κλειστό σύνολο

Ένα σύνολο $X$ είναι κλειστό όταν:

$$$$αν (xk)⊆X και xk→x, τοˊτε x∈X.

Δηλαδή: περιέχει όλα τα οριακά του σημεία.

Ισοδύναμα: το συμπλήρωμά του είναι ανοικτό.

3. Συμπαγές σύνολο

Στα ${\mathbb{R}}^n$, ο ορισμός γράφεται:

$$$$X ειˊναι συμπαγεˊς   ⟺  X ειˊναι κλειστοˊ και φραγμεˊνο.

Αυτό είναι η πλήρης μαθηματική έκφραση.

⭐ Γιατί το θέλει το θεώρημα Brouwer

Η συμπαγότητα εξασφαλίζει:

• ότι η συνεχής συνάρτηση $f$ πιάνει μέγιστο και ελάχιστο

• ότι δεν “φεύγουν” σημεία στο άπειρο

• ότι το σύνολο είναι “ολοκληρωμένο” τοπολογικά

Χωρίς συμπαγότητα, το θεώρημα αποτυγχάνει.

3.Ο Nash δεν απέδειξε το θεώρημα Brouwer. Ο Nash το χρησιμοποίησε για να αποδείξει την ύπαρξη ισορροπίας στα παιχνίδια.

Αυτό που έκανε ο Nash ήταν:

Να κατασκευάσει μια συνεχή απεικόνιση από τον χώρο των μικτών στρατηγικών στον εαυτό του, και να εφαρμόσει το θεώρημα Brouwer για να δείξει ότι υπάρχει σταθερό σημείο — δηλαδή ισορροπία Nash.

⭐ 2. Η αυθεντική απόδειξη του Nash (1950) — αυστηρή μορφή

Ακολουθεί η πλήρης λογική δομή της απόδειξης, όπως εμφανίζεται στο PNAS (χωρίς να παραβιάζουμε πνευματικά δικαιώματα: δεν παραθέτω το κείμενο, αλλά δίνω την ακριβή μαθηματική δομή).

Βήμα 1 — Ο χώρος στρατηγικών είναι συμπαγής και κυρτός

Για κάθε παίκτη $i$, ορίζει το simplex:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">S</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\{</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\in </span></span>{\mathbb{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">R</span></span>}}^{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">k</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">:</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">j</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\ge </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\text{<span style="font-size: small;"><span style="color: \#cc0000;"> </span></span>}\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">j</span></span>}}{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\sum </span></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">j</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">1</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\}</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Ο συνολικός χώρος στρατηγικών:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">S</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">S</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">1</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\times </span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\cdots </span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\times </span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">S</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">n</span></span>}}$$

είναι συμπαγής και κυρτός στο ${\mathbb{R}}^m$.

Αυτό είναι κρίσιμο για να εφαρμοστεί το Brouwer.

Βήμα 2 — Ο Nash ορίζει μια συνεχή απεικόνιση $f:S\to S$

Για κάθε παίκτη $i$, και κάθε καθαρή στρατηγική $s$, ορίζει:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">p</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">-</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Αυτό είναι το “πλεονέκτημα” του να μετακινηθεί ο παίκτης από τη μικτή στρατηγική του σε μια καθαρή στρατηγική.

Με βάση αυτό, ορίζει τη νέα μικτή στρατηγική:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">f</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span>}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">+</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">max</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;"></span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">p</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">1</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">+</span></span>\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">t</span></span>}}{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\sum </span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">max</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;"></span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">p</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">t</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Αυτή είναι η ακριβής απεικόνιση του Nash.

Ιδιότητες:

• είναι συνεχής

• απεικονίζει το $S$ στον εαυτό του

• αυξάνει το βάρος των στρατηγικών που αποδίδουν καλύτερα

Βήμα 3 — Εφαρμογή του Θεωρήματος Brouwer

Αφού:

• $S$ είναι συμπαγές και κυρτό

• $f$ είναι συνεχής

• $$f:S→S

τότε από Brouwer:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\exists </span></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\in </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">S</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">:</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">f</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Βήμα 4 — Το σταθερό σημείο είναι ισορροπία Nash

Αν $f(x^{\text{*}})=x^{\text{*}}$, τότε:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">max</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;"></span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">p</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">=</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\forall </span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Δηλαδή:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">-</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\le </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">0.</span></span>}$$

Άρα:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span><span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\ge </span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">u</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">,</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">x</span></span>}}_{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">i</span></span>}}^{\text{<span style="font-size: small;">*</span>}}<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">)</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">\forall </span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">s</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><span\; style="color:\; \#cc0000;">.</span></span>}$$

Κανένας παίκτης δεν μπορεί να βελτιώσει την απόδοσή του → ισορροπία Nash.

Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

⭐ 3. Τι διαφέρει από το paper του 1951

Το 1951 paper (Annals of Mathematics):

• είναι πολύ πιο εκτενές

• χρησιμοποιεί Kakutani fixed point theorem (όχι Brouwer)

• χειρίζεται αντιστοιχίσεις (correspondences) αντί για συναρτήσεις

• δίνει γενίκευση για παιχνίδια με πολλαπλές βέλτιστες απαντήσεις

Το 1950 paper είναι η “καθαρή” εκδοχή με Brouwer.

Hypercube Dimensional Matrix

 Sciences KL 

 ·

Ακολουθήστε

11 ώρ. ·

Hypercube Dimensional Matrix

Every physical quantity measured in science, such as speed, force, energy, pressure, momentum, frequency, and more, is just a specific combination of four basic building blocks: length, time, mass, and angle. Velocity is length divided by time. Area is length multiplied by length. Force is mass multiplied by length divided by time squared. Every quantity, no matter how complex, reduces to some mix of these four elements raised to certain powers. This diagram maps all those combinations onto the geometry of a four-dimensional cube called a tesseract. It turns the abstract bookkeeping of physics into a navigable geometric landscape. A tesseract is what you get when you extend a cube into a fourth dimension. Just as moving a square in a new direction creates a cube, moving a cube in a fourth direction creates a tesseract with sixteen corners and thirty-two edges. Since we cannot perceive four dimensions directly, the diagram shows a projection. The outer blue cube and the inner green cube, connected by purple diagonal lines, represent a single four-dimensional object flattened onto the page. This is similar to how a drawing of a cube shows a three-dimensional object on paper. The four axes of this tesseract are labeled with the four fundamental dimensions: length in blue, time in red, mass in green, and angle in purple. Each ranges from negative powers through zero to positive powers. The most elegant idea in the diagram is that each corner of the tesseract stands for a specific physical quantity, while each edge represents a physical operation connecting them. Moving one step along the length axis means multiplying or dividing by length. Moving one step along the time axis means multiplying or dividing by time. Differentiating with respect to time moves you in the negative time direction. Integrating over space moves you in the positive length direction. Physics becomes navigation. Every calculation, transformation between quantities, and physical relationship appears as a journey along edges and across faces of the four-dimensional structure. What looks like a complex tangle of colored lines is really a complete geometric map of the entire landscape of measurable physical reality. This reveals that the universe's countless quantities are not just a chaotic collection of unrelated measurements but a single beautifully structured four-dimensional space.

#physics #maths

Λιγότερα

Δείτε τη μετάφραση

Ωδή στον Αθανάσιο Κλάρα / Πετρολούκας Χαλκιάς & Λαβυρυθμος (Μουσική - στίχοι: Γιάννης Τσιαντής)

 

Κ. Π. Καβάφης – Ένας γέρος (1894 -1897)

 

Αντώνης Ανδρουλιδάκης · ΑΠΟ ΤΟ ΦΑΝΤΑΣΜΑ ΣΤΟ ΠΡΟΣΩΠΟ

 Αντώνης Ανδρουλιδάκης

13 ώρ. 

·

ΑΠΟ ΤΟ ΦΑΝΤΑΣΜΑ ΣΤΟ ΠΡΟΣΩΠΟ

Υπάρχουν έρωτες που δεν τελειώνουν ποτέ, όχι επειδή ήταν οι μεγαλύτεροι, αλλά μάλλον επειδή δεν έγιναν ποτέ πραγματικοί.

Κάποτε αναρωτιόμουν γιατί υπάρχουν άνθρωποι που κουβαλούν μέσα τους έναν έρωτα για δεκαετίες. Τους θεωρούσα κάπως παγιδευμένους. Γιατί εξακολουθούσαν να συγκινούνται από ένα πρόσωπο που ίσως και να μην άγγιξαν ποτέ πραγματικά, με το οποίο δεν έζησαν σχεδόν τίποτα και όμως μοιάζει να κατοικεί ακόμη μέσα τους.

Σήμερα νομίζω πως η απάντηση είναι πιο απλή και ταυτόχρονα πιο μυστηριώδης. Δεν ερωτεύτηκαν έναν άνθρωπο, ερωτεύτηκαν ένα φάντασμα. Ένα πλάσμα σχεδόν άυλο ή μερικά εκατομμύρια pixels σε μια οθόνη κινητού. Έναν άνθρωπο που υπήρξε περισσότερο ως υπόσχεση παρά ως παρουσία, ως δυνατότητα παρά ως πραγματικότητα, ως όνειρο περισσότερο παρά ως ένσαρκη ζωή.

Για όλους μας νομίζω υπάρχουν άνθρωποι που δεν γνωρίσαμε ποτέ πραγματικά, δεν ζήσαμε μαζί τους, δεν τους είδαμε κουρασμένους, δεν τους είδαμε να θυμώνουν ή να φοβούνται ή όλα αυτά από μια απόσταση ασφαλείας με τα κορμιά κρυμμένα πίσω από τις οθόνες.

Και κάπως έτσι δεν δοκιμάστηκε ποτέ η αγάπη μας πάνω στη φθορά της καθημερινότητας. Κι όμως, το πιστεύω αυτό- ίσως και να τους αγαπήσαμε βαθιά. Αλλά μάλλον κανείς δεν θα μάθει ποτέ αν αυτό που αγαπήσαμε υπήρξε ποτέ πραγματικά ή αν απλά συμπληρώσαμε το βλέμμα που έλειπε κάπως από μόνοι μας-έτσι όπως λειτουργεί ο εγκέφαλος μας όταν συμπληρώνει το γράμμα που λείπει σε μια λέξη και την ολοκληρώνει από μόνος του. Μάλλον κανείς δεν θα μάθει ποτέ αν ήταν λίγες λέξεις που τις μετατρέψαμε σε ολόκληρη ιστορία, φτιάχοντας μια παρουσία που γέμισε από τις δικές μας επιθυμίες.

Κι ο άνθρωπος απέναντί μας -ο καημένος κι αυτός- υπήρξε μόνο η αφορμή. Το υπόλοιπο το έγραψε η φαντασία. Τι κρίμα, θα πει κανείς!

Κι όμως, υπάρχει κάτι βαθιά ανθρώπινο σε όλο αυτό. Ίσως μάλιστα να μην πρέπει να βιαζόμαστε να το αποκαλέσουμε αυταπάτη. Γιατί ο άνθρωπος δεν ερωτεύεται μόνο με τα μάτια, ερωτεύεται και με τη φαντασία.

Όπως ένα μικρό παιδί που ακούει ένα παραμύθι και μένει μαγεμένο. Δεν το απασχολεί αν δράκοι, οι νεράιδες ή οι βασιλιάδες είναι πράγματι υπαρκτοί. Εκείνη τη στιγμή δεν αναζητά την αλήθεια των γεγονότων αλλά την αλήθεια της επιθυμίας του.

Νομίζω πως κάτι ανάλογο συμβαίνει και στον έρωτα. Πριν γνωρίσουμε πραγματικά τον άλλον, τον ονειρευόμαστε. Πριν συναντήσουμε το πρόσωπο, πλάθουμε μέσα μας μια μορφή. Πριν αγαπήσουμε τον άνθρωπο, αγαπάμε την πιθανότητα του ανθρώπου.

Και ίσως αυτό να μην είναι λάθος. Ο Donald Winnicott έλεγε πως η ψευδαίσθηση δεν είναι ένα σφάλμα που πρέπει να εξαλειφθεί, αλλά ένα αναγκαίο στάδιο της ανθρώπινης ανάπτυξης. Το βρέφος χρειάζεται αρχικά να πιστέψει ότι ο κόσμος γεννιέται από την επιθυμία του. Αυτή η δημιουργική ψευδαίσθηση δεν είναι παθολογία. Είναι η γέφυρα που θα του επιτρέψει αργότερα να συναντήσει την πραγματικότητα χωρίς να συντριβεί από αυτήν.

Ίσως και ο έρωτας να υπακούει στην ίδια μυστική λογική. Χρειαζόμαστε πρώτα το παραμύθι. Χρειαζόμαστε να μαγευτούμε.

Χρειαζόμαστε να πιστέψουμε για λίγο ότι ο άλλος είναι σχεδόν τέλειος, σχεδόν προορισμένος, σχεδόν θαυματουργός. Όχι καθόλου για να μείνουμε εκεί. Αλλά γιατί μόνο έτσι αποκτούμε το θάρρος να κάνουμε το πρώτο βήμα προς τη συνάντηση. Καμιά αγαπητική πραγματικότητα δεν μπορεί να προκύψει χωρίς την αρχική μάγευση. Όπως ακριβώς μια νέα ζωή πριν καλά καλά "συλληφθεί" έχει συγκροτηθεί ήδη στην επιθυμία μιας μητέρας.

Το πρόβλημα λοιπόν δεν είναι ότι στην αρχή αγαπάμε ένα φάντασμα. Το πρόβλημα αρχίζει όταν αρνούμαστε να το αποχαιρετήσουμε. Γιατί κάθε μεγάλος έρωτας ξεκινά σαν παραμύθι, αλλά δεν αντέχει να παραμείνει παραμύθι. Μεγαλώσαμε πια.

Οπότε, αν ένας μεγάλος έρωτας θέλει να γίνει αγάπη, κάποια στιγμή πρέπει να αφήσει το φάντασμα να πεθάνει. Πρέπει να επιτρέψει στον άνθρωπο να εμφανιστεί. Με τις ατέλειές του, τις πληγές του, την κακή του διάθεση, τις αντιφάσεις του, με τις στιγμές που θα μας απογοητεύσει, με τις στιγμές που θα μας πληγώσει, με την ελευθερία του να μη γίνει ποτέ αυτό που εμείς φανταστήκαμε.

Και τότε μπορεί να συμβεί το πραγματικό θαύμα. Να μην σταματήσεις να αγαπάς επειδή χάθηκε η φαντασίωση. Αντίθετα.

Για πρώτη φορά αποκτάς τη δυνατότητα να αγαπήσεις κάποιον που υπάρχει. Όχι τον ήρωα του παραμυθιού, αλλά τον άνθρωπο, με το γέλιο του, με τις σιωπές του, με τις αντιφάσεις του, με τις μικρότητές του, με την μαλακία που τον δέρνει, αλλά και με την μοναδική του ιστορία. Με το ανεξάντλητο μυστήριο που ποτέ δεν θα μπορέσεις να εξηγήσεις ολοκληρωτικά.

Ίσως λοιπόν να μην ντρεπόμαστε για εκείνο το πρώτο παραμύθι.

Όλοι κάποτε ερωτευτήκαμε ένα φάντασμα και η τραγωδία δεν είναι ότι το πιστέψαμε. Η τραγωδία είναι να επιμείνουμε να ζούμε για πάντα μαζί του.

Γιατί μόνο όταν το φάντασμα παραχωρήσει τη θέση του στο πρόσωπο, μόνο όταν το όνειρο γίνει συνάντηση και η εξιδανίκευση μεταμορφωθεί σε αλήθεια, τότε αρχίζει αυτό που αναζητούσαμε εξαρχής χωρίς να το ξέρουμε. Όχι ο έρωτας ενός φαντάσματος, αλλά η αγάπη του συγκεκριμένου και μοναδικού πραγματικού ανθρώπου.

Λιγότερα

CHARACTERS ·Χρήστος Παπαδημήτριου: “Οι μεγάλες ιδέες δεν μεταδίδονται μόνο με εξισώσεις αλλά με ιστορίες.»

 

CHARACTERS

 

·

Ακολουθήστε

16 ώρ. 

·

Ο Χρήστος Παπαδημήτριου πιστεύει ότι

“Οι μεγάλες ιδέες δεν μεταδίδονται μόνο με εξισώσεις αλλά με ιστορίες.»

Το βιβλίο του Logicomix, αφηγείται την αγωνία του Μπέρτραντ Ράσελ να δημιουργήσει ένα απόλυτα λογικό σύστημα που θα περιέγραφε όλη τη μαθηματική σκέψη. Στην πορεία εμφανίζονται ο Κουρτ Γκέντελ και ο Άλαν Τούρινγκ, οι οποίοι αποδεικνύουν ότι υπάρχουν όρια σε κάθε σύστημα λογικής.

Χρόνια αργότερα, σε δημόσια ομιλία του για την AI, ο Παπαδημητρίου περιέγραψε την τωρινή εποχή ως μια περίοδο «ξαφνικής, απρόσμενης και ανεξήγητης επιτυχίας» της τεχνητής νοημοσύνης. Παρότι τα μοντέλα πετυχαίνουν εντυπωσιακά αποτελέσματα, συχνά δεν γνωρίζουμε ακριβώς γιατί λειτουργούν τόσο καλά.

Έτσι δημιουργείται ένα ενδιαφέρον παράδοξο:

Η λογική αναζητά αποδείξεις και πλήρη εξήγηση.

Η σύγχρονη ΤΝ συχνά λειτουργεί αποτελεσματικά χωρίς να μπορούμε να εξηγήσουμε πλήρως τον εσωτερικό της συλλογισμό.

Ο Παπαδημητρίου δεν έμεινε μόνο στη θεωρία των αλγορίθμων. Τα τελευταία χρόνια συνεργάζεται σε έρευνες που προσπαθούν να κατανοήσουν τον ανθρώπινο εγκέφαλο ως ένα υπολογιστικό σύστημα, με στόχο να εξηγηθεί πώς η μάθηση, η μνήμη και η ακολουθία σκέψεων μπορούν να προκύπτουν από απλούς νευρωνικούς μηχανισμούς.

Ίσως η πιο ενδιαφέρουσα ιδέα που αναδεικνύει η πορεία του είναι η εξής:

Η λογική δεν υπάρχει για να αποδείξει ότι οι μηχανές σκέφτονται σαν ανθρώπους. Υπάρχει για να μας υπενθυμίζει τα όρια κάθε συστήματος σκέψης ανθρώπινου ή τεχνητού.

Αυτό είναι και το παράδοξο της σημερινής εποχής της AI: όσο πιο ισχυρά γίνονται τα μοντέλα, τόσο μεγαλύτερη γίνεται η ανάγκη για λογική, ερμηνεία και ανθρώπινη κρίση. Είναι μια ιδέα που διατρέχει τόσο το Logicomix όσο και τις δημόσιες παρεμβάσεις και την επιστημονική πορεία του Χρήστου Παπαδημητρίου.

#παπαδημητριου #logikomics #ai #ΤΝ #λογική

Λιγότερα

Παρουσίαση του LOGICOMIX

Δανείζοντας το ρόλο του παραμυθά στο φιλόσοφο Μπέρτραντ Ράσελ, μια παρέα φίλων στη σύγχρονη Αθήνα προσπαθεί να αφηγηθεί και να καταλάβει τη μεγάλη περιπέτεια της Λογικής στις αρχές του 20ού αιώνα, περιπέτεια που σημάδεψε ανεξίτηλα την εποχή μας. Είναι άραγε, όπως λέει ένας από αυτούς, μια ιστορία τραγική, μεγέθους μάλιστα αρχαίας τραγωδίας; Ή, όπως πιστεύει ένας άλλος, μια εντελώς αισιόδοξη περίπτωση; Στο Logicomix οι αποστάσεις καταργούνται: από τα μυστικά που κρύβει η σοφίτα ενός παλιού εγγλέζικου αρχοντικού μέχρι τη σκοτεινή όψη της πιο βαθιάς φιλοσοφικής αλήθειας, κι από εκεί ως την καρδιά ενός σύγχρονου κομπιούτερ, ίσως να μην είναι παρά μερικά, ελάχιστα βήματα... (Από την έκδοση) "Ένα σπουδαίο, χωρίς την παραμικρή διάθεση υπερβολής, έργο". Βαγγέλης Χατζηβασιλείου, ΕΛΕΥΘΕΡΟΤΥΠΙΑ "Ένα αδιαμφισβήτητα συναρπαστικό ανάγνωσμα, ιδιαιτέρως εκπαιδευτικό για μικρούς και μεγάλους". Ελισάβετ Κοτζιά, ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ "Μια αφήγηση που κερδίζει τον αναγνώστη με την ευστροφία, την πνευματικότητα και τη γοητεία της". Ηλίας Κανέλλης, ΤΑ ΝΕΑ "Κάνει τον αναγνώστη να αισθανθεί οικεία στο επίκεντρο μιας συναρπαστικής πολυεπίπεδης διανοητικής περιπέτειας". Γιώργος Καρουζάκης, STATUS "Το LOGICOMIX μοιάζει ως ένα όνειρο, που γίνεται πραγματικότητα". Αριστείδης Κώτσης, www.comicdom.gr "Το LOGICOMIX ιστορεί την περιπέτεια της ανθρώπινης σκέψης με τόσο δραματικό τρόπο, και με τέτοια ζωντανά χρώματα, που κάνει τους '300' να μοιάζουν σαν παιδική ιστοριούλα". John Walsh, INDEPENDENT "Τα μαθηματικά ποτέ δεν ήταν τόσο συναρπαστικά, πριν το LOGICOMIX!" Alex Bellos, GUARDIAN

ΑΠΟ ΒΙΚΙΠΑΙΔΕΙΑ

Logicomix (σύνθεση των λέξεων logic, λογική, και comics) είναι ο τίτλος εικονογραφήματος του Απόστολου Δοξιάδη και του καθηγητή πληροφορικής του Πανεπιστημίου Μπέρκλεϋ των Ηνωμένων Πολιτειών Χρίστου Παπαδημητρίου, εικονογραφημένο από τους Αλέκο Παπαδάτο και Αννί ντι Ντοννά (Annie di Donna).^[2]

Πλοκή

Το βιβλίο βασίστηκε πάνω στη ζωή του μαθηματικού Μπέρτραντ Ράσελ, καθώς και στη λεγόμενη «θεμελιακή αναζήτηση» στα μαθηματικά. Στο βιβλίο εμφανίζονται πολλοί διάσημοι μαθηματικοί και φιλόσοφοι του 20ού αιώνα, όπως οι: Γκέοργκ Καντόρ, Άλφρεντ Νορθ Ουάιτχεντ, Γκότλομπ Φρέγκε, Λούντβιχ Βιτγκενστάιν, Κουρτ Γκέντελ και Άλαν Τούρινγκ. Παράλληλα, το βιβλίο δείχνει και τις προσπάθειες των συντελεστών του βιβλίου να εξηγήσουν το νόημά του και το τι κρύβεται πίσω του.

Υποδοχή

Το Logicomix έλαβε πάμπολλες καλές κριτικές, ενώ έγινε σύντομα μπεστ σέλερ στην Ελλάδα, στις Ηνωμένες Πολιτείες, στην Ολλανδία και στη Μεγάλη Βρετανία. Από τις πρώτες μέρες κυκλοφορίας του το βιβλίο έγινε ανάρπαστο. Παρότι γράφτηκε πρώτα στα αγγλικά, οι συντελεστές του αποφάσισαν η πρώτη έκδοση του να γίνει στα ελληνικά. Το βιβλίο πρωτοκυκλοφόρησε στην Ελλάδα τον Σεπτέμβριο του 2008 από τις εκδόσεις «Ίκαρος». Σύντομα εξαντλήθηκε η πρώτη έκδοση και ακολούθησε άλλη μία που εξαντλήθηκε και αυτή σε σύντομο χρονικό διάστημα και ήδη κυκλοφορεί η έκτη έκδοση.^[3]. Το βιβλίο έχει μεταφραστεί και κυκλοφορήσει ήδη σε δεκατέσσερις χώρες του εξωτερικού, οι οποίες είναι η Μεγάλη Βρετανία, οι Ηνωμένες Πολιτείες, η Γερμανία, η Γαλλία, η Ολλανδία, η Κίνα, η Τουρκία, η Νότια Κορέα, η Ταϊβάν, η Νορβηγία, η Δανία, η Φινλανδία, η Βραζιλία και το Ισραήλ κλπ.^[4]. Στην Μεγάλη Βρετανία κυκλοφόρησε τον Σεπτέμβριο του 2009 και σημείωσε τεράστια επιτυχία, αποσπώντας εξαιρετικές κριτικές από τον τύπο της χώρας.^[5]

Παραπομπές

1. archive.org/details/logicomixepicsea00apos. Ανακτήθηκε στις 4  Απριλίου 2019.
2. Καθημερινή, «Μαθηματικών πάθη σε graphic novel»^{[νεκρός σύνδεσμος]}
3. «Το Βήμα, «Η παλίρροια Logicomix»». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 30 Απριλίου 2012. Ανακτήθηκε στις 5 Οκτωβρίου 2019.
4. «Logicomix, Διεθνείς εκδόσεις». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 23 Ιανουαρίου 2010. Ανακτήθηκε στις 30 Ιανουαρίου 2010.
5. «Καθημερινή, «Διεθνές μπεστ σέλερ made in Greece». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 13 Φεβρουαρίου 2012. Ανακτήθηκε στις 30 Ιανουαρίου 2010.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Επίσημος ιστότοπος

Κατηγορίες:

• Ελληνικά κόμικς
• Φιλοσοφία των μαθηματικών