ΚΙΓΙΟΣΙ ΙΤΟ:
Και τα μαθηματικά του τυχαίου!
Στις 7 Σεπτεμβρίου 1915 γεννήθηκε στην Ιαπωνία ο Κιγιόσι Ιτό (Kiyosi Itô, 1915–2008), ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς του 20ού αιώνα. Το έργο του άλλαξε ριζικά τον τρόπο με τον οποίο τα μαθηματικά περιγράφουν συστήματα που εξελίσσονται υπό την επίδραση του τυχαίου.
Ο «λογισμός Ιτό» αποτελεί σήμερα θεμελιώδες εργαλείο της θεωρίας πιθανοτήτων και των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων. Χρησιμοποιείται από τη φυσική και τη βιολογία μέχρι τη θεωρία ελέγχου και, ιδιαίτερα, τα χρηματοοικονομικά μαθηματικά. Η Διεθνής Μαθηματική Ένωση τον τίμησε το 2006 με το πρώτο Βραβείο Gauss, ακριβώς για τη θεμελίωση της θεωρίας των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων και της στοχαστικής ανάλυσης.
ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΤΥΧΑΙΟΥ
Ο κλασικός διαφορικός λογισμός των Newton και Leibniz είναι εξαιρετικά αποτελεσματικός όταν ένα σύστημα εξελίσσεται κατά έναν αρκετά ομαλό και προβλέψιμο τρόπο.
Αν γνωρίζουμε, για παράδειγμα, τη θέση ενός σώματος ως συνάρτηση του χρόνου, μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητά του μέσω μιας παραγώγου.
Τι συμβαίνει όμως όταν η κίνηση παρουσιάζει συνεχείς, απρόβλεπτες διακυμάνσεις;
Το κλασικό παράδειγμα είναι η κίνηση Brown: η ακανόνιστη κίνηση ενός μικροσκοπικού σωματιδίου μέσα σε ένα υγρό, εξαιτίας των αναρίθμητων συγκρούσεών του με τα μόρια του περιβάλλοντος.
Οι τροχιές της ιδανικής κίνησης Brown είναι συνεχείς αλλά τόσο ακανόνιστες ώστε δεν διαθέτουν τη συνηθισμένη παράγωγο σχεδόν πουθενά.
Και εδώ εμφανίζεται το πρόβλημα:
Πώς εφαρμόζουμε διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό σε κάτι που είναι συνεχές, αλλά ουσιαστικά «τραχύ» σε κάθε κλίμακα;
Η απάντηση του Ιτό ήταν να κατασκευάσει έναν νέο λογισμό ειδικά για τέτοιες στοχαστικές διαδικασίες.
Η ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ
Ένα πολύ απλό πρότυπο γράφεται συμβολικά:
dX = μ dt + σ dW
Το πρώτο μέρος, μ dt, περιγράφει τη συστηματική ή «ντετερμινιστική» εξέλιξη.
Το δεύτερο, σ dW, εισάγει την τυχαία μεταβολή.
Το W συμβολίζει μια διαδικασία Wiener, δηλαδή τη μαθηματική εξιδανίκευση της κίνησης Brown.
Εδώ όμως συμβαίνει κάτι εντυπωσιακό.
Στον συνηθισμένο λογισμό, όροι δεύτερης τάξης, όπως το τετράγωνο μιας απειροστής μεταβολής, εξαφανίζονται όταν παίρνουμε το όριο.
Στον λογισμό Ιτό αυτό δεν συμβαίνει με τον ίδιο τρόπο. Για την κίνηση Brown η τετραγωνική διακύμανση συσσωρεύεται και μαθηματικά εμφανίζεται η χαρακτηριστική σχέση
(dW)² → dt.
Ακριβώς από αυτή την ιδιότητα προκύπτει ένας πρόσθετος όρος στον κανόνα παραγώγισης.
Η περίφημη «φόρμουλα Ιτό» είναι, σε απλουστευμένη μορφή:
df = fₜ dt + fₓ dX + ½ fₓₓ (dX)².
Εάν το X περιλαμβάνει θόρυβο Brown, εμφανίζεται επομένως ένας όρος δεύτερης παραγώγου που δεν θα υπήρχε στον συνηθισμένο διαφορικό λογισμό.
Αυτός ο φαινομενικά μικρός όρος είναι ένας από τους λόγους για τους οποίους η στοχαστική ανάλυση διαφέρει θεμελιωδώς από τον κλασικό λογισμό.
ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ BROWN ΣΤΗ WALL STREET
Ο Ιτό δεν δημιούργησε τη θεωρία του για τη χρηματιστηριακή αγορά. Η μαθηματική του εργασία ήταν πολύ βαθύτερη και γενικότερη.
Όταν όμως, δεκαετίες αργότερα, αναπτύχθηκαν τα σύγχρονα μαθηματικά των χρηματοοικονομικών, ο λογισμός Ιτό αποδείχθηκε ακριβώς το εργαλείο που χρειαζόταν.
Μια τιμή μετοχής μπορεί, σε ένα απλοποιημένο μοντέλο, να θεωρηθεί ότι αποτελείται από μια συστηματική τάση και μια τυχαία συνιστώσα.
Αυτή ακριβώς είναι η δομή μιας στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης.
Ο λογισμός Ιτό έγινε έτσι βασικό μαθηματικό εργαλείο στη θεωρία αποτίμησης παραγώγων και ιδιαίτερα στη μαθηματική ανάπτυξη του μοντέλου Black–Scholes–Merton.
Ο νομπελίστας οικονομολόγος Robert Merton είχε αναγνωρίσει ότι η μέθοδος του Ιτό αποτέλεσε εξαιρετικά χρήσιμο εργαλείο για τη μελέτη της εξέλιξης των τιμών και της αποτίμησης χρηματοοικονομικών δικαιωμάτων.
ΟΜΩΣ Ο ΙΤΟ ΔΕΝ ΑΝΗΚΕΙ ΜΟΝΟ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ
Οι στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται για την περιγραφή φαινομένων όπου συνυπάρχουν συστηματικοί νόμοι και τυχαίες διακυμάνσεις.
Στη φυσική χρησιμοποιούνται στη θεωρία διάχυσης, στις θερμικές διακυμάνσεις και σε προβλήματα στατιστικής φυσικής.
Στη βιολογία μπορούν να περιγράψουν πληθυσμούς που επηρεάζονται από τυχαίες περιβαλλοντικές μεταβολές.
Στη γενετική πληθυσμών χρησιμοποιούνται για στοχαστικές μεταβολές των συχνοτήτων των γονιδίων.
Στη θεωρία ελέγχου χρησιμοποιούνται όταν ένα σύστημα πρέπει να ελεγχθεί ενώ ταυτόχρονα υφίσταται θόρυβο.
Στη νευροεπιστήμη εμφανίζονται σε μοντέλα νευρωνικών διακυμάνσεων.
Και στα χρηματοοικονομικά περιγράφουν την αβεβαιότητα που συνοδεύει την εξέλιξη τιμών, επιτοκίων και άλλων οικονομικών μεταβλητών.
Η επιρροή της θεωρίας του Ιτό σε τόσο διαφορετικές επιστήμες ήταν ένας από τους βασικούς λόγους για τους οποίους του απονεμήθηκε το Βραβείο Gauss.
ΕΝΑ ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΑΡΓΗΣΕ ΝΑ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΕΙ
Υπάρχει και μια αξιοσημείωτη ιστορική λεπτομέρεια.
Ο Ιτό άρχισε να αναπτύσσει τις θεμελιώδεις ιδέες του στις αρχές της δεκαετίας του 1940, εργαζόμενος τότε στο Στατιστικό Γραφείο της ιαπωνικής κυβέρνησης.
Οι πρώτες εργασίες του δεν προκάλεσαν ιδιαίτερη εντύπωση.
Χρειάστηκαν χρόνια μέχρι η μαθηματική κοινότητα να αντιληφθεί το πραγματικό βάθος του νέου λογισμού.
Ο ίδιος αργότερα παρομοίασε τα μαθηματικά με μουσική: όταν πρωτοέγραψε τις στοχαστικές του εξισώσεις, λίγοι μπορούσαν ακόμη να «διαβάσουν την παρτιτούρα». Μετά από χρόνια, άλλοι μαθηματικοί άρχισαν να αναπτύσσουν αυτή τη μουσική σε ολόκληρο επιστημονικό οικοδόμημα.
Ο Ιτό έγινε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Κιότο το 1952 και παρέμεινε εκεί μέχρι τη συνταξιοδότησή του το 1979, ενώ εργάστηκε επίσης σε σημαντικά ιδρύματα του εξωτερικού. Πέθανε στο Κιότο στις 10 Νοεμβρίου 2008, σε ηλικία 93 ετών.
Η ΚΛΗΡΟΝΟΜΙΑ ΤΟΥ ΙΤΟ
Ο Κιγιόσι Ιτό έκανε κάτι εξαιρετικά δύσκολο: δημιούργησε έναν αυστηρό μαθηματικό λογισμό για συστήματα των οποίων η εξέλιξη περιλαμβάνει εγγενή τυχαιότητα.
Χάρη σε αυτόν μπορούμε σήμερα να γράφουμε εξισώσεις όχι μόνο για το πώς μεταβάλλεται ένα σύστημα, αλλά και για το πώς μεταβάλλεται όταν επάνω στη νομοτελειακή του εξέλιξη επιδρούν συνεχώς τυχαίες διακυμάνσεις.
Ο λογισμός Ιτό είναι πλέον τόσο θεμελιώδης ώστε αποτελεί βασική γλώσσα της σύγχρονης θεωρίας πιθανοτήτων.
Και ίσως αυτή να είναι η μεγαλύτερη συνεισφορά του:
έδειξε ότι το τυχαίο δεν σημαίνει μαθηματική αταξία.
Ακόμη και μέσα στην αβεβαιότητα μπορούν να υπάρχουν ακριβείς νόμοι.
Βιβλιογραφία
Itô, K. (1944), “Stochastic Integral”, Proceedings of the Imperial Academy.
Itô, K. (1951), “On Stochastic Differential Equations”, Memoirs of the American Mathematical Society.
Itô, K. & McKean, H.P. (1965), Diffusion Processes and Their Sample Paths, Springer.
Ikeda, N., Watanabe, S., Fukushima, M. & Kunita, H. (eds.) (1996), Itô’s Stochastic Calculus and Probability Theory, Springer.
International Mathematical Union (2006), Carl Friedrich Gauss Prize for Applications of Mathematics: Kiyosi Itô.
MacTutor History of Mathematics Archive, “Kiyosi Ito (1915–2008)”, University of St Andrews.
Λιγότερα
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου